La valeur d'espérance (ou la moyenne d'échantillon) du carré de la différence entre un estimateur ou une prévision et la quantité estimée ; pour un estimateur θ̂ de θ, MSE(θ̂) = E[(θ̂ − θ)^2].

Principe

La MSE se décompose en variance et carré du biais : MSE(θ̂) = Var(θ̂) + [Bias(θ̂)]^2, ce qui met en évidence le compromis entre variabilité de l'estimateur et erreur systématique sous un critère de perte quadratique.

Démonstration

Pour une prévision ŷ et une réalisation y, la MSE d'échantillon sur T observations est (1/T) Σ_{t=1}^T (y_t − ŷ_t)^2 ; comparer la MSE entre modèles est une méthode standard pour évaluer la précision quadratique moyenne et obtenir la RMSE en prenant la racine carrée.

Mauvaise application

Utiliser la MSE comme seul critère de performance peut être trompeur lorsque la perte est asymétrique, quand les valeurs aberrantes dominent les écarts quadratiques, ou lorsque des différences d'échelle rendent les comparaisons invalides ; elle peut masquer des erreurs dépendantes du motif.

Conséquence

Minimiser la MSE donne des estimateurs qui équilibrent biais et variance sous perte quadratique et fournit un objectif simple et différentiable pour l'estimation et la sélection de modèles ; elle sous-tend aussi de nombreuses règles de score et méthodes de calibration.

Inversion

Des fonctions de perte alternatives, comme l'erreur absolue moyenne (MAE) ou les pertes de quantile, inversent l'accent mis sur les écarts quadratiques au profit de pénalités absolues ou asymétriques et peuvent être préférées lorsque la robustesse ou des coûts décisionnels spécifiques importent.

Limite

La MSE présuppose une préférence pour la perte quadratique et est sensible aux queues épaisses et aux valeurs aberrantes ; elle s'applique aux estimateurs ponctuels et aux prévisions mais doit être interprétée par rapport à l'échelle, l'horizon et à l'indépendance ou l'hétéroscédasticité des erreurs.

Tension sémantique

La MSE est souvent comparée à la RMSE (sa racine carrée) et à la MAE ; la RMSE conserve les unités de la grandeur et accentue les grosses erreurs, tandis que la MAE est plus robuste — le choix reflète une tension entre sensibilité aux grandes déviations et interprétabilité.

Synthèse

L'erreur quadratique moyenne quantifie l'écart quadratique moyen entre prévisions/estimateurs et valeurs réelles, se décompose en variance et carré du biais révélant le compromis biais‑variance, et constitue un critère central, bien que parfois inadapté, pour évaluer estimateurs et prévisions.